Algèbre linéaire Exemples

$16 x - 10 y = 6$ , $8 x - 5 y = 3$

Étape 1

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 16 & - 10 & 6 \\ 8 & - 5 & 3 \end{array}]$

Étape 2

Réduisez en ligne pour éliminer l’une des variables.

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Étape 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{16}{16} & \frac{- 10}{16} & \frac{6}{16} \\ 8 & - 5 & 3 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{8} & \frac{3}{8} \\ 8 & - 5 & 3 \end{array}]$

Étape 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{8} & \frac{3}{8} \\ 8 - 8 \cdot 1 & - 5 - 8 (- \frac{5}{8}) & 3 - 8 (\frac{3}{8}) \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{8} & \frac{3}{8} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x - \frac{5 y}{8} = \frac{3}{8}$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{5 y}{8} = \frac{3}{8} - x$

Étape 4.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- \frac{8}{5}$ .

$- \frac{8}{5} (- \frac{5 y}{8}) = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Étape 4.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.1.1

Simplifiez $- \frac{8}{5} (- \frac{5 y}{8})$ .

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Étape 4.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 4.3.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8}{5}$ dans le numérateur.

$\frac{- 8}{5} (- \frac{5 y}{8}) = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Étape 4.3.1.1.1.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5 y}{8}$ dans le numérateur.

$\frac{- 8}{5} \cdot \frac{- 5 y}{8} = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Étape 4.3.1.1.1.3

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$\frac{8 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 y}{8} = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Étape 4.3.1.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 y}{8} = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Étape 4.3.1.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{5} (- 5 y) = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Étape 4.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.3.1.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 y$ .

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Étape 4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Étape 4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- - y = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Étape 4.3.1.1.3

Multipliez.

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Étape 4.3.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Étape 4.3.1.1.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = - \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez $- \frac{8}{5} (\frac{3}{8} - x)$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{8}{5} \cdot \frac{3}{8} - \frac{8}{5} (- x)$

Étape 4.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 4.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8}{5}$ dans le numérateur.

$y = \frac{- 8}{5} \cdot \frac{3}{8} - \frac{8}{5} (- x)$

Étape 4.3.2.1.2.2

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$y = \frac{8 (- 1)}{5} \cdot \frac{3}{8} - \frac{8}{5} (- x)$

Étape 4.3.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{8 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{3}{8} - \frac{8}{5} (- x)$

Étape 4.3.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 1}{5} \cdot 3 - \frac{8}{5} (- x)$

Étape 4.3.2.1.3

Associez $\frac{- 1}{5}$ et $3$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 3}{5} - \frac{8}{5} (- x)$

Étape 4.3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = \frac{- 3}{5} - \frac{8}{5} (- x)$

Étape 4.3.2.1.5

Multipliez $- \frac{8}{5} (- x)$ .

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Étape 4.3.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 3}{5} + 1 (\frac{8}{5}) x$

Étape 4.3.2.1.5.2

Multipliez $\frac{8}{5}$ par $1$ .

$y = \frac{- 3}{5} + \frac{8}{5} x$

Étape 4.3.2.1.5.3

Associez $\frac{8}{5}$ et $x$ .

$y = \frac{- 3}{5} + \frac{8 x}{5}$

Étape 4.3.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3}{5} + \frac{8 x}{5}$

Étape 4.4

Remettez dans l’ordre $- \frac{3}{5}$ et $\frac{8 x}{5}$ .

$y = \frac{8 x}{5} - \frac{3}{5}$

Étape 5

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(x, \frac{8 x}{5} - \frac{3}{5})$

Étape 6

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ \frac{8 x}{5} - \frac{3}{5} \end{array}]$